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余数一定比除数小对吗(余数)

导读 在整数运算中除数不能整除被除数时会有余数 ,在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在...

在整数运算中除数不能整除被除数时会有余数 ,在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。

当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要。

取余数运算: a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 mod 3 = 1 . 余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数): (1)余数小于除数。

(2)被除数=除数×商+余数; 除数=(被除数-余数)÷商; 商=(被除数-余数)÷除数。

(3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。

例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。

(4)a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。

例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。

注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。

(5)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。

例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3。

注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。

性质(4)(5)都可以推广到多个自然数的情形。

例1 5122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数。

分析与解:由性质(2)知,除数×商=被除数-余数。

5122-66=5056, 5056应是除数的整数倍。

将5056分解质因数,得到 5056=26×79。

由性质(1)知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在67~99之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79。

例2 被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。

解:因为被除数=除数×商+余数 =除数×33+52, 被除数=2143-除数-商-余数 =2143-除数-33-52 =2058-除数, 所以 除数×33+52=2058-除数, 所以 除数=(2058-52)÷34=59, 被除数=2058-59=1999。

答:被除数是1999,除数是59。

例3 甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。

解:因为 甲=乙×11+32, 所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088, 所以 乙=(1088-32)÷12=88, 甲=1088-乙=1000。

答:甲数是1000,乙数是88。

例4 有一个整数,用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50。

求这个数。

分析与解:先由题目条件,求出这个数的大致范围。

因为50÷3=16……2,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16。

由三个余数之和是50知,除数不应大于70,所以除数在17~70之间。

由题意知(7+110+160)-50=290应能被这个数整除。

将290分解质因数,得到290=2×5×29,290在17~70之间的约数有29和58。

因为110÷58=1……52>50,所以58不合题意。

所求整数是29。

例5 求478×296×351除以17的余数。

分析与解:先求出乘积再求余数,计算量较大。

根据性质(5),可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数。

478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2×7×11)÷17=9……1。

所求余数是1。

例6 甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人。

两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。

参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。

如果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片? 分析与解:甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数(简称甲数)除以36余11;两代表团余下的人正好坐满一辆车,说明乙代表团余36-11=25(人),即乙代表团的人数(简称乙数)除以36余25;甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数×乙数”张照片,因为每个胶卷拍36张,所以最后一个胶卷拍的张数,等于“甲数×乙数”除以36的余数。

因为甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

(11×25)÷36=7……23, 即最后一个胶卷拍了23张,还可拍36-23=13(张)。

由例6看出,将实际问题转化为我们熟悉的数学问题,有助于我们思考解题。

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