久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。

修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。

在同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。

凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。

凸性越大,债券价格曲线弯曲程度越大,用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。

严格地定义,凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。

久期 久期(也称持续期)是1938年由 F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。

它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。

其公式为 其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。

可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。

久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。

修正久期 修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。

由于债券的现值 对P求导并加以变形,得到: 我们将 的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。

这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。

由公式1和公式2我们可以得到: 在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到: 由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。

由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。

修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。

修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。

可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。

但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。

如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。

误差的大小取决于曲线的凸性。

市场利率变化时,修正久期稳定性如何?比如上图中,B′和B"的修正久期相同,是否具有同等利率风险呢?显然不同。

当y变大时,B"价格减少的幅度要小,而当y变小时,B"价格变大的幅度要大。

显然,B"的利率风险要小于 B′。

因此修正久期用来度量债券的利率风险仍然存在一定误差,尤其当到期收益率变化较大时。

凸性可以更准确地度量该风险。

凸性 利用久期衡量债券的利率风险具有一定的误差,债券价格随利率变化的波动性越大,这种误差越大。

凸性可以衡量这种误差。

凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。

凸性越大,债券价格曲线弯曲程度越大,用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。

严格地定义,凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。

根据其定义,凸性值的公式为: 凸性值 = 凸性值是价格变动幅度对收益率的二阶导数。

假设P0是理论现值,则凸性值= 应用 由于修正久期度量的是债券价格和到期收益率的近似线性关系,由此计算得出的债券价格变动幅度存在误差,而凸性值对这种误差进行了调整。

根据泰勒系列式,我们可以得到 的近似值: 这就是利用修正久期和凸性值量化债券利率风险的计算方法。

我们可以看到,当y上升时, 为负数,若凸性值越大,则 的绝对值越小；当y下降时,为正数,若凸性值越大,则越大。

因此,凸性值越大,债券利率风险越小,对债券持有者越有利；而修正久期具有双面性,具有较小修正久期的债券抗利率上升风险较强,而当利率下降时,其价格增幅却小于具有较大修正久期债券的价格增幅。