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海伦定理解三角形面积(海伦定理)

导读 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、...

与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为   cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab   S=1/2*ab*sinC   =1/2*ab*√(1-cos^2 C)   =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]   =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]   =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]   =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]   =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]   设p=(a+b+c)/2   则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,   上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]   =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]   所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

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