方法一：5261如图所示，建立空间直角坐标系，4102点B为坐标原点．依题意得 A(22。

16530，0)，B(0。

0，0)，C(2。

-2，5)A1(22，22。

0)，B1(0，22。

0)，C1(2，2。

5)（I）解：易得 AC→=(-2，-2，5)。

A1B1→=(-22，0，0)。

于是 cos〈AC→，A&1B1→＞=AC→•A1B1→|AC→|•|A1B1→|=43×22=23，所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23．（II）解：易知 AA1→=(0。

22，0)，A1C1→=(-2。

-2，5)．设平面AA1C1的法向量 m→=（x，y。

z），则 {m→•A1C1→=0m→•AA1→=0即 {-2x-2y+5z=022y=0.不妨令 x=5，可得 m→=(5。

0，2)，同样地。

设平面A1B1C1的法向量 n→=（x，y，z）。

则 {n→•A1C1→=0n→•A1B1→=0即 {-2x-2y+5z=0-22x=0.不妨令 y=5，可得 n=(0，5。

2)．于是 cos＜m→，n→＞=m→•n→|m→||n→|=27•7=27，从而 sin＜m→。

n→＞=357．所以二面角A-A1C1-B的正弦值为 357．（III）解：由N为棱B1C1的中点，得 N(22，322。

52)．设M（a，b，0）。

则 MN→=(22-a，322-b，52)由MN⊥平面A1B1C1。

得 {MN→•A1B1→=0MN→•A1B1→=0即 {(22-a)•(-22)=0(22-a)•(-2)+(322-b)•(-2)+52•5=0.解得 {a=22b=24.故 M(22，24，0)．因此 BM→=(22。

24，0)，所以线段BM的长为 |BM→|=104．方法二：（I）解：由于AC∥A1C1。

故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角．因为C1H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心， AA1=22。

C1H=5，可得A1C1=B1C1=3．因此 cos∠C1A1B1=A1C12+A1B12-B1C122A1C1•A1B1=23．所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23．（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1。

又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以△AC1A1≌△B1C1A。

过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，于是B1R⊥A1C1。

故∠ARB1为二面角A-A1C1-B1的平面角．在Rt△A1RB1中， B1R=A1B1•sin∠RA1B1=22•1-(23)2=2143．连接AB1，在△ARB1中。

AB1=4，AR=B1R，cos∠ARB1=AR2+B1R2-AB122AR•B1R= -27。

从而 sin∠ARB1=357．所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为 357．（III）解：因为MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1．取HB1中点D，连接ND。

由于N是棱B1C1中点，所以ND∥C1H且 ND=12C1H=52．又C1H⊥平面AA1B1B，所以ND⊥平面AA1B1B。

故ND⊥A1B1．又MN∩ND=N，所以A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E。

则ME⊥A1B1，故ME∥AA1．由 DEAA1=B1EB1A1=B1DB1A=14，得 DE=B1E=22。

延长EM交AB于点F，可得 BF=B1E=22．连接NE．在Rt△ENM中，ND⊥ME。

故ND2=DE•DM．所以 DM=ND2DE=524．可得 FM=24．连接BM，在Rt△BFM中， BM=FM2+BF2=104．。