最低0.27元开通文库会员，查看完整内容> 原发布者:未完待续Iittc 4.3正交矩阵及其性质12018/1/4定义6设A为n阶方阵,如果ATA=I或AAT=I,就称A为正交矩阵.(A-1=AT)定理4A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基.证设a11a21Aan1a12a22an2a1na2nann按列分块为[a1,a2,...,an],22018/1/4于是Ta1aTTAA2a1,a2,Tana1Ta1a1Ta2aTaaTa22,an21TTaaana2n1a1TanTa2anTanan因此ATA=I的充分必要条件是aiTai(ai,ai)1,i1,2,,n;且aiTaj(ai,aj)0,nji,i,j1,2,,n.即A的向量组{a1,a2,,an为R的一组标准正交基.此定理可作为判定正交矩阵的一种方法32018/1/4定理5设A,B皆是n阶正交矩阵,则:(i)detA=1或-1;(ii)A-1=AT（充要条件）;(iii)AT(即A-1)也是正交矩阵;(iv)AB也是正交矩阵.证(i)det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2,所以成立,(ii)ATA=I,当然就是A-1=AT,(iii)(AT)TAT=AAT=AA-1=I,所以AT(即A-1)也是正交矩阵,从而A的行向量组也是Rn的一组标准正交基,(iv)由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I,即得AB也是正交矩阵.42018/1/4定理方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量构成标准正交组。

方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量。